Complejo de Koszul

Sea S el anillo de polinomios en n variables, y consideremos C=C(D;S) el complejo de cadenas del simplejo D^n:
0->S->S^n->...->S^n->S->0
donde los exponentes son los coeficientes binomiales y los diferenciales son los estándar. Definimos el complejo de Koszul simplemente graduando los diferenciales de modo que sean homomorfismos de grado 0. Este complejo, K,  es una resolución libre minimal del ideal maximal generado por las variables y por lo tanto puede ser utilizado para calcular los números de Betti de cualquier otro ideal I, simplemente  calculando la homología de K⊗I (Basicamente esto es uno de los dos modos de calcular el Tor). De esto se siguen múltiples propiedades, por ejemplo, al calcular ese producto tensorial y restringirlo a un cierto grado, de verifica que los números de Betti pueden ser encontrados calculando la homología sobre el campo k de ciertos complejos simpliciales llamados complejos superiores de Koszul. Este resultado se conoce como la fórmula de Hochster.